☛ Système à trois inconnues : substitution

Énoncé
Résoudre le système \((\text S) : \begin{cases} x+y+z=5\\ 2x-y+3z=7\\ 3x+2y-z= 1\end{cases}\) en utilisant la méthode par substitution.
Solution

1. On commence par isoler une inconnue dans une équation.
Par exemple, l'équation 1 peut s'écrire \(x=5-y-z\).

2. On remplace l'inconnue isolée par son expression dans les autres équations et on simplifie.
L'équation 2 s'écrit alors \(2(5-y-z) - y + 3z = 7\) soit \(-3y+z+10=7\).
L'équation 3 s'écrit alors \(3(5-y-z) +2y-z = 1\) soit \(-y-4z+15 = 1\).

3. On isole une nouvelle inconnue dans une autre équation que celle de l'étape 1.
Par exemple, l'équation 2 peut s'écrire \(z=3y-3\).

4. On remplace la deuxième inconnue isolée par son expression dans l'équation sans isolement.
L'équation 3 s'écrit alors \(-y-4(3y-3)+15 = 1\) et il n'y a plus qu'une seule inconnue.

5. On résout l'équation de la ligne où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 s'écrit alors \(-13y+27 = 1\) et permet finalement de trouver \(\color{red}{\boxed{y=2}}\).

6. On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors \(x=5-2-z\) soit \(x=3-z\).
L'équation 2 s'écrit alors \(z= 3 \times 2 - 3\) soit \(\color{blue}{\boxed{z=3}}\).

7. On remplace dans la dernière équation non résolue la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur.
L'équation 1 s'écrit alors \(x=3-3\) soit \(\color{green}{\boxed{x=0}}\).

8. On vérifie que le triplet \((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant \(\color{green}x\), \(\color{red}y\) et \(\color{blue}z\) respectivement par \(\color{green} 0\), \(\color{red} 2\) et \(\color{blue} 3\) dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.

• La première équation donne \(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée \(\checkmark\).
  
• La deuxième équation donne \(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée \(\checkmark\).
  
• La troisième équation donne \(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée \(\checkmark\).
  

9. Conclusion : l'ensemble des solutions du système \((\text S)\) est \(\mathscr{S} = \left\lbrace (\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3}) \right\rbrace\).